Curso começa hoje!

É isso aí, gente. O curso começa hoje, às 18h, na sala do (EA)². A sala é a CB55, fica no último andar do Ciclo Básico, no lado par (basta subir o lance de escadas em cima do banheiro masculino até o topo). Espero vocês lá, levem lápis e papel!

"Inversões"

How to draw 1 - Algumas Construções Geométricas Básicas

Olá a todos,

Sei que demorei para voltar ao blog, mas essa primeira postagem, bastante longa, tomou um bom tempo para ser feita. O que eu quero fazer aqui é criar uma espécie de "Guia Básico para o Desenhista Geométrico Mirim", com um manual de construções geométricas que podem ser feitas simplesmente usando uma régua sem marcações e um compasso (quando um esquadro ajuda, vou falar como, mas aí perde um pouco a graça da coisa). A idéia desse post não é ser lido do começo ao fim de uma vez, mas é deixar registrado um local de consulta para quem estiver desenhando e precisar encontrar a solução para algum problema em particular. De qualquer forma, para deixar a postagem mais interessante, vou colocar imagens mais interessantes que podem ser feitas utilizando apenas régua e compasso.

Mas, por que régua e compasso? Bem, historicamente, esse foi um jogo inventado pelos gregos. N'Os Elementos, Euclides postula a existência de uma reta entre qualquer par de pontos, que pode ser estendida indefinidamente, e de um círculo de qualquer raio dado qualquer centro. Ou seja, existem uma régua e um compasso. A partir daí, matemáticos de todas as épocas se dedicaram a examinar quais coisas poderiam ser construídas com régua e compasso, e como fazê-lo, e essa foi a base do desenho geométrico antes do computador. Além do significado histórico, régua e compasso são os mais básicos instrumentos de desenho geométrico que podemos usar, e é um pouco mais fácil, pelo menos na minha opinião, ser preciso com régua e compasso do que adicionando esquadros, transferidores e afins.

Nessa página vocês vão ver que podemos fazer muuuitas coisas utilizando apenas uma régua e um compasso, mas mesmo assim muita coisa não coloquei aqui, como a construção de alguns polígonos mais elaborados e a solução dos Problemas de Apolônio para a tangência entre três círculos.

Você pode até evocar demônios com régua e compasso.
Mas não falaremos disso aqui.
Neste post.

Uma pequena legenda: nas construções, o X preto é o lugar da ponta seca do compasso, enquanto o ponto vermelho indica o grafite do compasso. (Clique nas imagens para ampliar)

1) Construção de um triângulo dados os três lados

2) Construção de triângulo equilátero (ou ângulo de 60º)

3) Construção de um hexágono, ou rosácea de seis pontas

Essa é uma das minhas construções favoritas, praticamente nem precisa da régua. Além disso, o centro da circunferência, ligado às extremidades de qualquer um dos lados, forma um triângulo equilátero, então essa construção pode substituir a anterior!

4) Bissecção de segmento (ou ângulo de 90º)

O segmento que construímos é a chamada mediatriz do segmento, o conjunto de pontos que está a mesma distância das extremidades do segmento. Por exemplo, qualquer circunferência que contenha A e B tem o centro nessa mediatriz.

5) Bissecção de ângulo

Assim como para a mediatriz, a reta que construímos é a bissetriz do ângulo e é o conjunto dos pontos equidistantes dos dois lados do ângulos. Qualquer circunferência que tangencia ambos os lados do ângulo tem centro na bissetriz.

6) Circunferência passando por três pontos (ou centro de circunferência dada)

Para achar o centro de uma circunferência dada, então, basta fazer essa construção para três ponto sobre a circunferência. Note que essa construção é filha da construção da mediatriz, exatamente porque o centro dessa circunferência tinha que estar na mediatriz de dois segmentos.

7) Reta tangente a uma circunferência passando por um ponto dado

Esse é outro problema que usa a construção da mediatriz, mas agora o ponto é construir um triângulo retângulo.

8) Reta paralela a uma reta dada passando por um ponto dado

Note que os pontos na última imagem formam um paralelogramo, assim essa construção também pode ser usada para construir um paralelogramo.

9) Divisão de segmento em n partes iguais

A construção das paralelas, na última passagem, claramente fica mais fácil com o uso de uma régua e um esquadro.


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De novo, este post está aqui para consulta, mais ou menos como um manual, que traz os passos que podem ser usados para fazer coisas como essas a seguir (que não usam nada muito elaborado):

"Supercírculo"

"Retas que parecem curvas"

Exemplo de "Op Art"

Inscrições para o Curso Abertas!

É isso que está no título! Nos últimos dias o site do projeto TOPE estava fora do ar, mas isso já foi regularizado e as inscrições para o curso estão abertas no seguinte link:

http://www.tope.ea2.unicamp.br/pages/index.php

Para realizar a inscrição você precisa primeiro realizar o cadastro no programa TOPE, fazer o login, seguir para "Mini-cursos"-> "Inscrição em mini-cursos"-> "Matemática (Visual) para Artistas"->"Quero me Inscrever!" e então ir realizar a inscrição. Se tentar isso sem fazer o login, pode aparecer uma tela de erro, não se preocupem.

Apesar do nome, todos são bem-vindos ao curso! =)

Em breve teremos mais material aqui no blog também, espero que nos vejamos em breve!

Apresentação do Curso

Olá, pessoal,

Sou estudante do mestrado em Matemática na Unicamp, autor desse outro blog (que em breve receberá um pouco mais da merecida atenção), e logo mais ministrarei um minicurso no Projeto TOPE da Unicamp chamado "Matemática (Visual) para Artistas". Nesse curso, pretendo apresentar algumas construções geométricas que resultam em imagens bonitas (na minha opinião e tenho certeza que na de muita gente) e, talvez principalmente, intrigantes, assim como espero também explicar um pouco do que está por trás de algumas figuras com algo de matemática e algo de beleza, como fractais e as conhecidas obras de M. C. Escher.

"A Cascata", M. C. Escher

A proposta, não modesta, do curso é mostrar o suficiente do funcionamento dessas figuras para que as pessoas possam reproduzí-las e criar figuras novas passando pelos mesmos princípios, mas sem entrar nos requintes matemáticos. A tarefa fica ainda mais improvável pois eu sou apenas um entusiasta (encantado) do tema, não um desenhista habilidoso nem nada do tipo, e um matemático possivelmente propenso a exageros, bem, matemáticos. Mas vou tentar manter o foco e apresentar o tema, pois ia ser lindo que essa mensagem de que existe uma sobreposição fértil entre arte e matemática se espalhasse. A idéia é que o curso seja interessante para artistas, licenciandos em matemática e física, bacharéis dessas áreas, enfim, para qualquer um que ache que matemática pode ser visualmente bonita, e quer falar mais sobre isso.

"Knotted Torus"

A princípio, pretendo falar dos seguintes temas:

- Construções geométricas clássicas, com régua e compasso, apresentando algumas ferramentas básicas e mostrando como elas podem criar padrões instigantes a partir de construções muito simples.

Feito apenas com régua e compasso (não por mim)

- Fractais: o que são? como desenhá-los? Aqui provavelmente mostrarei como construir alguns fractais mais conhecidos e também falarei algo sobre a etrutura de fractais e como criar fractais novos e ter alguma idéia de que eles não vão se auto-instersectar, por exemplo.

"Dragon Curve"

- As figuras impossíveis de M. C. Escher: impossível fugir desse tema quando falamos disso. Pretendo apresentar as estruturas simples por trás das figuras de Escher e como fazer outras figuras que também parecem "não caber" nem no papel nem em 3D, as chamadas figuras impossíveis.

Triângulo de Penrose

- As figuras possíveis (mas improváveis) que povoam os livros de topologia. Superfícies com um lado só, nós impossíveis e outras coisas que você só acha nos livros de topologia do seu primo matemático (e nas capas de todos os livros de matemática) mas que você nunca soube o que são (ou como funcionam) e que parecem saídas de um filme de ficção científica in the skies with diamonds.

Garrafa de Klein

Outros temas que podem ser trazidos são mosaicos (periódicos ou não), ferramentas digitais, desenhos no plano hiperbólico ou até mesmo como crochetar seu próprio espaço hiperbólico, ainda estou organizando os temas, e aceito sugestões e pedidos.

Plano Hiperbólico

Enfim, aos que se interessarem, o curso será nos dias 18, 19, 20, 25 e 26 de agosto, no horário da janta, na Unicamp, e será oferecido pelo TOPE à comunidade da Unicamp. As inscrições abrem em agosto. Fiquem atentos!

Até lá (e talvez depois) trarei para esse blog coisas interessantes a respeito do tema (depois de um hiato inicial, porque estou em viagem). Fiquem atentos que teremos mais material em breve!