How to draw 1 - Algumas Construções Geométricas Básicas

Olá a todos,

Sei que demorei para voltar ao blog, mas essa primeira postagem, bastante longa, tomou um bom tempo para ser feita. O que eu quero fazer aqui é criar uma espécie de "Guia Básico para o Desenhista Geométrico Mirim", com um manual de construções geométricas que podem ser feitas simplesmente usando uma régua sem marcações e um compasso (quando um esquadro ajuda, vou falar como, mas aí perde um pouco a graça da coisa). A idéia desse post não é ser lido do começo ao fim de uma vez, mas é deixar registrado um local de consulta para quem estiver desenhando e precisar encontrar a solução para algum problema em particular. De qualquer forma, para deixar a postagem mais interessante, vou colocar imagens mais interessantes que podem ser feitas utilizando apenas régua e compasso.

Mas, por que régua e compasso? Bem, historicamente, esse foi um jogo inventado pelos gregos. N'Os Elementos, Euclides postula a existência de uma reta entre qualquer par de pontos, que pode ser estendida indefinidamente, e de um círculo de qualquer raio dado qualquer centro. Ou seja, existem uma régua e um compasso. A partir daí, matemáticos de todas as épocas se dedicaram a examinar quais coisas poderiam ser construídas com régua e compasso, e como fazê-lo, e essa foi a base do desenho geométrico antes do computador. Além do significado histórico, régua e compasso são os mais básicos instrumentos de desenho geométrico que podemos usar, e é um pouco mais fácil, pelo menos na minha opinião, ser preciso com régua e compasso do que adicionando esquadros, transferidores e afins.

Nessa página vocês vão ver que podemos fazer muuuitas coisas utilizando apenas uma régua e um compasso, mas mesmo assim muita coisa não coloquei aqui, como a construção de alguns polígonos mais elaborados e a solução dos Problemas de Apolônio para a tangência entre três círculos.

Você pode até evocar demônios com régua e compasso.
Mas não falaremos disso aqui.
Neste post.

Uma pequena legenda: nas construções, o X preto é o lugar da ponta seca do compasso, enquanto o ponto vermelho indica o grafite do compasso. (Clique nas imagens para ampliar)

1) Construção de um triângulo dados os três lados

2) Construção de triângulo equilátero (ou ângulo de 60º)

3) Construção de um hexágono, ou rosácea de seis pontas

Essa é uma das minhas construções favoritas, praticamente nem precisa da régua. Além disso, o centro da circunferência, ligado às extremidades de qualquer um dos lados, forma um triângulo equilátero, então essa construção pode substituir a anterior!

4) Bissecção de segmento (ou ângulo de 90º)

O segmento que construímos é a chamada mediatriz do segmento, o conjunto de pontos que está a mesma distância das extremidades do segmento. Por exemplo, qualquer circunferência que contenha A e B tem o centro nessa mediatriz.

5) Bissecção de ângulo

Assim como para a mediatriz, a reta que construímos é a bissetriz do ângulo e é o conjunto dos pontos equidistantes dos dois lados do ângulos. Qualquer circunferência que tangencia ambos os lados do ângulo tem centro na bissetriz.

6) Circunferência passando por três pontos (ou centro de circunferência dada)

Para achar o centro de uma circunferência dada, então, basta fazer essa construção para três ponto sobre a circunferência. Note que essa construção é filha da construção da mediatriz, exatamente porque o centro dessa circunferência tinha que estar na mediatriz de dois segmentos.

7) Reta tangente a uma circunferência passando por um ponto dado

Esse é outro problema que usa a construção da mediatriz, mas agora o ponto é construir um triângulo retângulo.

8) Reta paralela a uma reta dada passando por um ponto dado

Note que os pontos na última imagem formam um paralelogramo, assim essa construção também pode ser usada para construir um paralelogramo.

9) Divisão de segmento em n partes iguais

A construção das paralelas, na última passagem, claramente fica mais fácil com o uso de uma régua e um esquadro.


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De novo, este post está aqui para consulta, mais ou menos como um manual, que traz os passos que podem ser usados para fazer coisas como essas a seguir (que não usam nada muito elaborado):

"Supercírculo"

"Retas que parecem curvas"

Exemplo de "Op Art"